Material de clase
Programa de Teoría
El material que se ofrece, recoge el contenido completo de la asignatura con demostraciones detalladas de los resultados, así como numerosos ejemplos ampliamente tratados. Los ejercicios y problemas propuestos, se encuentran en secciones distribuidas a lo largo del material y no únicamente al final de cada capítulo, es en ese momento donde deben abordarse. Un buen número de los problemas y ejercicios llevan indicaciones (los marcados con [I]) y/o la solución (los marcados con [R]). Tales indicaciones y soluciones se encuentran en los archivos correspondientes a los problemas y no en el texto, con el fin de que se recurra a ellos como recurso secundario o último. En la versión electrónica las indicaciones y resoluciones llevan un hiperenlace a la colección de problemas correspondiente. En cada página se ha dejado un amplio margen derecho, con el fin de que el estudiante pueda hacer las anotaciones que considere oportunas.
Se puede descargar el material completo en un archivo zip. Aquí también se incluyen tanto los problemas para entregar como las pruebas de evaluación que están en las correspondientes secciones de este sitio.
Por último señalaremos que el curso propiamente dicho lo forman únicamente los capítulos 1 al 6. Los capítulos -1 (una breve introducción histórica) y los apéndices A y B, forman parte de un material adicional, que puede ayudar a ampliar los conocimientos. El Capítulo 0 recoge una serie de conceptos relativos a conjuntos, aplicaciones y números que son necesarios para abordar el presente curso y que están recogidos ampliamente en la asignatura Conjuntos y Números del primer cuatrimestre del curso primero del Grado en Matemáticas.
Tema -1: Un poco de historia. 
Tema -1
Tema 0: Conjuntos, aplicaciones y números. Tema 0
Tema 1: Espacios métricos. Tema 1
Distancia. Espacio métrico. Distancias en R y Rn. Ejemplos de espacios métricos. Subespacio métrico. Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos. Bolas. Topología asociada a una métrica. Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades. Producto de espacios métricos.
Tema 2: Subconjuntos destacados en la topología métrica. Tema 2
Adherencia, interior y frontera. Conjuntos densos y espacios separables. Puntos aislados y de acumulación. Adherencia, interior y frontera relativos. Sucesiones. Convergencia. Caracterización mediante sucesiones de los puntos adherentes y puntos frontera.
Tema 3: Funciones continuas. Tema 3
Continuidad de funciones entre espacios métricos. Continuidad en un punto. Continuidad global. Caracterización de la continuidad mediante sucesiones. Principales propiedades de las aplicaciones continuas. Aplicaciones abiertas, cerradas y homeomorfismos. Aplicaciones continuas en subespacios. Continuidad uniforme. Isometrías.
Tema 4: Espacios compactos. Tema 4
Espacio y subespacio compacto. Subconjuntos compactos de la recta real y del espacio euclídeo Rn. Compacidad secuencial. Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Relación entre la compacidad y las funciones continuas. Propiedad de la intersección finita.
Tema 5: Espacios métricos completos. Tema 5
Sucesiones de Cauchy. Los espacios euclídeos (Rn). Relación entre la completitud y la compacidad. Algunos resultados interesantes: teorema de encaje de Cantor, un teorema de Baire, teorema del punto fijo. Completado de un espacio métrico.
Tema 6: Espacios conexos. Tema 6
Espacios métricos conexos. Propiedades. Componentes conexas. Los subespacios conexos de la recta real. Conexión y continuidad. Conexión por caminos.
Apéndice A: Completar un espacio métrico. Apéndice A
Apéndice B: Construcción de los números reales. Apéndice B
MATERIAL COMPLETO DEL CURSO
Topología de Espacios Métricos
