Estadísticos de orden

Se pretende generar una muestra ordenada de una variable aleatoria.

Si se tiene ya una muestra uniforme ordenada u₍₁₎, ..., u_(n), entonces aplicando transformaciones inversas se obtiene una muestra ordenada de la variable original, pues la función de distribución es creciente. En consecuencia, basta generar muestras uniformes ordenadas.

Sea $X\equiv U(0,1)$.

$$P(X_{(n)} \leq x) = F(x)^n = x^n = u_n\Rightarrow x = u_n^{\frac{1}{n}}.$$

Luego $u_{(n)} = u_n^{\frac{1}{n}}$. Los n-1 valores restantes se distribuyen uniformemente en [0,u_(n)]. Ahora repetimos el mismo procedimiento pero con n-1 variables en lugar de n.

$$P(X_{(n-1)} \leq x) = \left( \frac{x} {u_{(n)}} \right)^{n-1} = u_{n-1}\Rightarrow x = u_{(n)} (u_{n-1})^{\frac{1}{n-1}}.$$

Luego $u_{(n-1)} = (u_{n-1})^{\frac{1}{n-1}} u_n^{\frac{1}{n}}$.

En general,

$$u_{(k)} = u_{(k-1)} u_k^{\frac{1}{k}}, \quad k=n-1,n-2,\dots,2,1.$$