La limitación del conocimiento, atribuida a Gödel, es un reto temerario a la completitud de las Matemáticas. El modesto Gödel comenzó a incubar sus ideas, cuando el pensamiento científico y filosófico estaba dominado por el positivismo, la sobredimensionada e intelectualmente agresiva creencia de que todo podría ser explicado a través de observaciones empíricas y lógicas, dado que el Universo y todo lo que contenía, eran esencialmente mecanicistas. En el ámbito de las Matemáticas, esta visión fue especialmente propiciada por David Hilbert, por cuanto propuso una filosofía, denominada formalismo, que pretendía describir toda la Matemática, mediante una serie de reglas formales, axiomas para los matemáticos, que fueran lógicos y consistentes y, finalmente, un sistema completo. No fue el único matemático que soportaba esta posición. En el siglo XVII Leibniz, uno de los promotores del Cálculo, emprendió un proyecto consistente en construir un “alfabeto básico del pensamiento humano” que permitiría mediante la combinación de pensamientos simples formar cualquier idea, como si se tratase de que un número limitado de palabras se pudieran combinar fácilmente, para formar cualquier frase, independientemente de que anteriormente nunca se hubiera formulado ni pronunciado. Esto permitía valorar si un pensamiento sería válido, cierto o interesante, de la misma forma que se podrían construir nuevos e inéditos pensamientos, de forma automática. Cualquier disputa o debate podría ser resuelto calculando, por cuanto, se suponía, la deriva lógica estaba al alcance de la mecanización.
Fue, precisamente, la obsesión en todo esto, lo que llevó a Leibniz a desarrollar la matemática conocida hoy como combinatoria. En el fondo, subyacía que la “verdad” se podía deducir (se suponía) a partir de un número de sentencias previas (primitivas o primarias) mediante operaciones matemáticas. También todo esto supuso el comienzo de la moderna lógica y la contribución de Leibniz, ha sido considerada por muchos como la mayor aportación a la lógica desde Aristóteles. Puede pensarse que resultaba “naif” creer que cualquier pensamiento se podría derivar mediante un dispositivo de cálculo, como el propio Leibniz valoró, pero el “alfabeto del pensamiento” y sus implicaciones le obsesionó el resto de su vida.
El interés tanto para Leibniz, como para nosotros, no es que esta estructura y este dispositivo imaginario fuera capaz de construir los pensamientos humanos, sino que se pudieran identificar y evaluar pensamientos desconocidos. De esta manera se daba pie para poder sondear lo que sabemos, así también como lo que no conocemos. Este atributo es el que nos seduce, que pudiera contener más de lo que sabemos nosotros. La potencia del “alfabeto de pensamientos” de Leibniz y el “Algebra de pensamientos” que trabajaría, permitirían mostrar el infinito del pensamiento humano y, por ende, la inmensidad de lo desconocido. Pero, el lenguaje es útil para lo que nos permite decir y es poderoso porque admite, por su estructura, que hay una infinidad de cosas que se podrían decir y que siempre queda más por decir que lo que decimos o está dicho. El alfabeto de Leibniz nunca se usó y la forma que él imaginó es menos importante que la demostración de qué cosas simples son las que se pueden combinar para componer nuevas cosas.
Las ideas centrales de Leibniz están inspiradas en el Ars Magna de Raimundo Lull y en el Computatio sive Logica de Hobbes. En el caso de Lull, la pretensión era disponer de un instrumento para convencer a los infieles de la verdad de los dogmas de la religión cristiana, pero también era un medio de generar conocimiento, Utilizó una tabla de categorías formadas por seis series, cada una de las cuales correspondía a nueve absolutos, nueve relaciones, nueve preguntas, nueve sujetos, nueves virtudes y nueve vicios. Leibniz se percató de las limitaciones, porque la tabla de categorías le parecía arbitraria y artificial, sin razones para adoptar nueve categorías por cada serie, ni mantener que los vicios y las virtudes eran ideas universales y se consideraban primitivas. Hobbes concibió el razonamiento como un cálculo, que pensaba que era lo único que realizaba nuestra mente, como reconoce Leibniz en su obra De arte combinatoria. Lebiniz sostenía que una lengua universal sería una lengua filosófica si fuera capaz de expresar directamente los pensamientos. Y es por eso que, en el Dissertatio del Ars Combinatoria afirmaba que se podría lograr construyendo un “alfabeto de pensamientos humanos”. Como representante del racionalismo sostuvo que el criterio de veracidad del conocimiento es la necesidad intrínseca de éste y no su adecuación con la realidad. Tenía la esperanza de crear un lenguaje que pudiera emplearse en el cálculo lógico universal. Por cierto, fue el promotor del sistema binario, fundamento de todas las arquitecturas de computadoras actuales.
El primer teorema de incompletitud de Gödel demuestra que en cualquier sistema formal de aritmética hay proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse, que tanto la sentencia como su negación son indecidibles. Esto conmocionó más allá del mundo de las matemáticas, en especial el corolario o segundo principio de incompletitud, que habla de que la consistencia de los axiomas no se puede demostrar en el interior del sistema.. Esto lleva a que no se puede demostrar la corrección de los razonamientos matemáticos basados en objetos infinitos, solo con razonamientos basados en objetos finitos. Esto implica que no toda la Matemática es computable y que la metamatemática del ser humano superará siempre a la capacidad de las máquinas. La comunidad científica recibió con frialdad la propuesta de Gödel. Se dice que la reacción de Wittgenstein fue similar a la que en su día dio Voltaire a los descubrimientos de Leibniz, en relación con el error en las interpretaciones de su teorema en su época. Gödel estudió concienzudamente las obras de Leibniz, al que siempre admiró. Siempre sospechó que la mayoría de las aportaciones de Leibniz se han soslayado. Opinaba que de haberse examinado las propuestas de Leibniz, la Humanidad sería hoy mucho más racional e inteligente y cometería menos errores.