Método de composición

Sea f(x) la función de densidad de una variable aleatoria X. El método de composición consiste en lo siguiente:

1.

Se descompone f como $f(x)=\sum_{i=1}^m p_i f_i(x)$, con f_i función de densidad, $p_i\geq 0$, $i=1,\dots, m$, $\sum_{i=1}^m p_i=1$.

2.

Se elige la i-ésima función con probabilidad p_i y se genera un valor para la función de densidad f_i.

Ejemplo: $f(x)=\frac{5}{12} (1+(x-1)^4), \ 0\leq x\leq2.$

La función de distribución es

$$F(x)=\frac{1}{12} + \frac {5} {12} \left( x + \frac{(x-1)^5}{5} \right), \ 0\leq x\leq 2,$$

por lo que no se puede aplicar el método de la transformación inversa. Sin embargo, si hacemos

$$p_1=\frac{5}{6},$$ $$f_1=\frac{1}{2},$$ $$p_2=\frac{1}{6},$$ $$f_2=\frac{5}{2}(x-1)^4,$$

entonces

$$f=\frac{5}{6} \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \frac{5}{2}(x-1)^4$$

y podemos aplicar el método de composición.

$$f_1(x)=\frac{1}{2} \quad \rightarrow \quad F_1(x)=\frac{x}{2}=u \quad \rightarrow \quad x=2u,$$

$$f_2(x)=\frac{5}{2}(x-1)^4 \quad \rightarrow \quad F_2(x)=\fr... ...\frac{1}{2}(x-1)^5= \quad \rightarrow \quad x=\sqrt[5] {2u-1}.$$

El método queda:

1.

Se genera u₁, u₂ con distribución U(0,1).

2.

Si $u_1<\frac{5}{6}$, entonces x=2u₂. En caso contrario, $x=1+\sqrt[5]{2u_2-1}$.

Ejemplo: $f(x)=\frac{3x^2}{2}, \ -1\leq x \leq 1.$

Hacemos $p_1=\frac{1}{2}$, $f_1=3x^2 \chi_{[-1,0]}$, $p_2=\frac{1}{2}$ y $f_2=3x^2 \chi_{[0,1]}$.

$$F_1(x)=\int_{-1}^x {3t^2}dt = \left[t^3 \right]_{-1}^x = x^3+1, \ -1\leq x \leq 0.$$

$$x^3+1=u \quad \rightarrow \quad x=(u-1)^{\frac{1}{3}}.$$

$$F_2(x)=\int_0^x {3t^2} dt = \left[ t^3 \right]_0^x = x^3, \ 0\leq x \leq 1.$$

$$x^3=u \quad \rightarrow \quad x=u^{\frac{1}{3}}.$$

Método:

1.

Se genera u₁, u₂ según U(0,1).

2.

Si $u_1\leq \frac{1}{2}$, entonces $x=(u_2-1)^{\frac{1}{3}}$. En caso contrario, se hace $x=u_2^{\frac{1}{3}}$.