Nuestra vida está llena de nudos. Para quienes se ocupan de cómo quedan las cordoneras de sus zapatos o los lazos de sus corbatas, la preocupación al respecto será sobre todo estética. Para el alpinista, el disponer de unos nudos adecuados que le sujeten puede suponer su éxito deportivo y para un marinero, dominar cómo se hacen los diversos tipos de nudos es esencial en su profesión. Pero dejando aparte estos y otros diferentes ejemplos, puede resultar curioso para el lector no científico, conocer que el estudio, clasificación y propiedades de los nudos es una importante rama de las Matemáticas, la teoría de nudos, en la que desde hace más de 120 años vienen investigando prestigiosos equipos. La sorpresa puede incrementarse al conocer además que ello guarda relación muy estrecha con varios sectores del Álgebra, con la clasificación de las partículas en espacios bidimensionales, la estructura submicroscópica del espacio físico, la teoría de la relatividad, de la gravedad, la estructura del ADN, etc.

 

Para iniciarnos en el tema podemos indicar que un nudo es lo que se obtiene cuando se toman los dos extremos de una cuerda o cinta, muy, poco, o nada liada, y ambos extremos se unen. En un nudo complejo pueden existir diversas intersecciones y bucles o lazos. Por otra parte, dos nudos se consideran topológicamente equivalentes o isótopos si se pueden superponer uno al otro, aunque para lograrlo haya que tirar, empujar, deformar, etc. porciones de las cuerdas, siempre que ello se haga sin cortar y sin separar los extremos. A pesar de que pueda parecer sencillo resolver el problema de la equivalencia entre nudos, es decir la búsqueda de todas sus formas posibles y la comprobación de su coincidencia o diferencia, sin embargo, la investigación matemática de este tema es uno de los principales problemas de la teoría de nudos.

 

Un colaborador del célebre Kelvin, el escocés Peter G. Tait, fue quien en 1876 produjo la primera investigación sobre la clasificación de los nudos y hacia 1900 se habían confeccionado tablas con dibujos de centenares de nudos diferentes, que incluían a todos los distintos existentes que contaran hasta con un máximo de 10 cruzamientos de cuerdas. Sin embargo, seguía sin existir un medio abordable que permitiera decidir a la vista de dos dibujos complicados de nudos si estos eran o no topológicamente equivalentes. Para tratar el tema científicamente los matemáticos se dedicaron a describir invariantes, es decir expresiones matemáticas de cálculo sencillo que fueran descriptivas de los nudos, por ejemplo, del número de cruzamientos por encima (o por debajo), que se obtienen al proyectar un nudo sobre un plano, es decir al dibujarlo en dos dimensiones. Las invariantes no se modifican como consecuencia de las deformaciones continuas (estirados, deslizamientos, etc.) a que se someta el nudo y a invariantes diferentes deben corresponder nudos distintos. 

 

El primer resultado positivo al respecto lo obtuvo en 1928 el matemático James W. Alexander que desarrolló un polinomio, el polinomio de Alexander para nudos, expresado como P(t) =a+ b.t + c.t2 + d.t3 + ..., en que los coeficientes a, b, c, ... se deducen, mediante cómputos asequibles, a partir de las propiedades del dibujo del nudo. En el caso de dos nudos equivalente siempre se obtiene el mismo polinomio. Desgraciadamente la solución encontrada no era perfecta ya que, si bien dos nudos equivalentes daban lugar siempre al mismo polinomio, sin embargo, también se encontraban casos de nudos diferentes que producían un mismo polinomio.

 

Tras transcurrir más de medio siglo, un matemático de la Universidad de California en Berkeley, Vaughan Jones, en 1984, desarrolló otra forma polinómica con nuevas reglas para el cómputo de coeficientes y aunque tampoco se solucionaba totalmente el problema de la clasificación de nudos, si era aplicable y aclaraba los casos no válidos del polinomio de Alexander. Lo más interesante respecto al de Jones fue que con su polinomio se podía establecer una relación con la mecánica estadística, puesto que para el cómputo de los coeficientes había que seguir el mismo procedimiento que para computar las propiedades de un cierto sistema estadístico que los matemáticos conocen como modelos de Pott.

 

Estando así las cosas, en 1987 se produjo otro avance significativo cuando el investigador japonés Gukuhara diseñó una nueva magnitud característica para cada nudo, una especie de energía potencial electrostática del nudo, como si se supusiese que la cuerda del nudo fuese un hilo conductor a lo largo del cual se distribuyeran uniformemente cargas electrostáticas. La idea es que, a partir de cualquier situación, se tiende a alcanzar el estado estable de mínima energía, que corresponde a la carga electrostática mínima. Las consecuencias derivadas de las aplicaciones de esta nueva invariante energética de los nudos han sido muy fructíferas y, como ejemplo de ello, hace un par de años otro investigador japonés demostró el carácter finito del número de nudos diferentes que es posible tener para una determinada energía.

 

Lo más reciente e interesante corresponde a este mismo año 1993, fruto de una investigación colaborativa de un centro de la NASA y de las universidades americanas de Princeton y San Diego, en California. Primeramente, se demostró que, por debajo de una cierta energía, exactamente 2 + 4, no existen nudos. Por otra parte, si el número de cruzamientos que existen en un nudo es n la energía mínima de los nudos que cumplan esa condición ha de ser como mínimo 2 .n + 4. Ello significa, al fin, que los nudos se pueden clasificar, usando los criterios de su energía mínima.

 

Lo que comienza a ser fascinante es la relación de la teoría de nudos con otras ramas de las ciencias y de los ejemplos disponibles mencionaremos solo tres de ellos. En primer lugar, se situarían los estudios sobre espacios monodimensionales, en cuyas circunstancias las partículas elementales (del tipo de nuestros clásicos electrones o fotones) se clasificarían de una forma totalmente paralela a la señalada para los nudos. El segundo caso corresponde a los espacios bidimensionales dentro de mundos tridimensionales espacio-tiempo, investigados también en Princeton por el físico Edward Witten, que se adaptan al concepto denominado covarianza general, que es una propiedad de ciertas teorías físicas, como la propia teoría general de la relatividad de Einstein. Lo interesante es que los cálculos de una magnitud fundamental, la llamada cantidad Z, son totalmente coincidentes con los deducidos del polinomio de Jones para los nudos. El tercer y último ejemplo se corresponde al problema aún no resuelto de la descripción cuántica de la gravedad, con una postulada partícula elemental, el gravitón, que hasta ahora ha sido imposible de detectar. En relación con ello se ha propuesto un nuevo modelo de microestructura del espacio físico en el que éste se considera como formado con una cantidad innumerable de pequeñísimos lazos circulares que llenan todo el espacio entrelazándose unos con otros, en lo que se denomina una trama lo que permite las deformaciones, estiramientos, pliegues, etc., pero siempre representando el mismo espacio y ello siguiendo las reglas de las transformaciones estudiadas por la teoría de nudos.

 

Información adicional

 

* En agosto de 1990, con motivo de la celebración del Congreso Internacional de Matemáticas en Kyoto, Japón, el más prestigioso galardón científico matemático, la medalla Fields, les fue concedida compartidamente al matemático Vaughan Iones, descubridor del polinomio de Jones para los nudos, y al físico Edward Witten, del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, por sus investigaciones de espacios bidimensionales en relación con la teoría de nudos.

 

*En 1986 el físico Abhay Ashtekar de la Universidad de Siracusa consiguió expresar la teoría general de la relatividad de Einstein en un nuevo lenguaje matemático, con ecuaciones más simples. En esta formulación, la adecuación de la teoría de la relatividad a la teoría cuántica es más sencilla y las soluciones de las correspondientes ecuaciones están relacionadas con la teoría de nudos, permitiendo describir las propiedades 

cuánticas de la gravedad en términos de representación de nudos.

 

*Existen otras asociaciones no citadas de la teoría de nudos con diversos campos científicos, tales como la clasificación de los subfactores de las álgebras de von Neumann, el estudio de los grupos cuánticos, algunos aspectos de la mecánica estadística y, de un modo muy interesante, aspectos relacionados con el proceso de separación de las ramas de la doble hélice de ADN, nuestro material hereditario.