Van Kampen y el grupo fundamental por el Prof. Dr. D. Pascual Lucas Saorín, académico de número

El 28 de mayo pasado se conmemoró el centenario del nacimiento del matemático holandés Egbert Rudolf van Kampen. Se graduó en Matemáticas en 1924, de manera sobresaliente, hasta el punto que la prensa local se hizo eco de su talento matemático. En 1931 viajó a Estados Unidos para ocupar una plaza de profesor que le habían ofrecido en la Universidad Johns Hopkins, en Baltimore. Allí conoció a Oscar Zariski, que había estado trabajando en el grupo fundamental del complemento de una curva algebraica. Habiendo obtenido éste los generadores y las relaciones del grupo fundamental, sin embargo no fue capaz de probar que dichas relaciones eran suficientes para dar la presentación del grupo. Esto fue resuelto por van Kampen, y el resultado se conoce hoy como teorema de Zariski-van Kampen. Esta fue la primera contribución importante que van Kampen proporcionó a la topología algebraica, aunque quizás el resultado más famoso es el teorema de Seifert-van Kampen (conocido en ocasiones como teorema de van Kampen). Pero ¿qué es el grupo fundamental? Explicar esto sin usar palabras técnicas es bastante difícil, así que intentaremos proporcionar una idea elemental del mismo. A los matemáticos nos gusta estudiar y clasificar objetos y para ello analizamos diversos aspectos y propiedades, con la idea de encontrar características de un objeto que lo distingan de otros. Por ejemplo, la dimensión del objeto, que nos permite distinguir una curva de una superficie. Este tipo de “buenas” propiedades se denominan invariantes topológicos y su utilidad es la siguiente: si dos espacios (objetos) son iguales entonces tienen que tener los mismos invariantes, y si dos objetos tienen distinto un invariante entonces tienen que ser diferentes. El grupo fundamental de un espacio es uno de estos invariantes y se define como el conjunto de las “distintas” curvas cerradas simples (es decir, que empiezan y acaban en el mismo punto y no presentan autointersecciones) que hay en el espacio. Aquí dos curvas son iguales o equivalentes si una puede transformarse en otra de manera continua, sin cortar ni pegar. Por ejemplo, en una esfera (una pelota) todas las curvas cerradas simples son equivalentes a la curva constante (es decir, los puntos), mientras que en toro (un donut o un flotador) hay curvas que no lo son. Esto nos dice que la esfera y el toro no son la misma superficie, es decir, que no podemos transformar una en la otra sin cortar ni pegar.