Un teorema de Euler por el Prof. Dr. D. Pascual Lucas Saorín, académico de número

Columna de la Academia publicada en el Diario La Verdad el 1 de julio de 2017

Todos hemos jugado alguna vez con un dado. Si lo observamos detenidamente vemos que tiene 6 caras, 12 aristas (las líneas donde confluyen dos caras) y 8 vértices (los puntos donde confluyen varias aristas). Si llamamos C, A y V al número de caras, aristas y vértices, respectivamente, es fácil observar que C-A+V=2. Euler, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, también se dio cuenta de ello a mediados del siglo XVIII. Es más, vio que esa relación también se cumplía para los otros sólidos platónicos (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) y para muchos otros poliedros convexos. Desde entonces conocemos dicha ecuación como fórmula (o teorema) de Euler. Sin entrar en muchos detalles, un poliedro convexo es una figura tridimensional con volumen finito y limitada por polígonos (regulares o irregulares) que no tiene entrantes ni agujeros.

Muchos resultados en Matemáticas son lo suficientemente importantes como para que se hayan demostrado de diferentes formas a lo largo del tiempo. El caso más paradigmático es el teorema de Pitágoras, del cual se han proporcionado casi 400 demostraciones distintas. La fórmula de Euler, sin llegar a la exuberancia del teorema de Pitágoras, también se enorgullece de tener más de 20 demostraciones distintas. Hoy quisiera mencionar la demostración de la carga eléctrica, ideada por el ilustre matemático W.P. Thurston.

Coloquemos el poliedro en el espacio, de forma que ninguna arista esté horizontal, y que exista exactamente un vértice superior y un vértice inferior. Pongamos una carga unitaria positiva en cada vértice, una carga unitaria positiva en el centro de cada cara y una carga unitaria negativa en el centro de cada arista. Desplacemos horizontalmente las cargas de los vértices y aristas, siguiendo un movimiento contrario a las agujas del reloj, hacia la cara más próxima. De esta forma la carga de cada vértice y arista se asigna a una única cara. Es fácil ver que la carga total de cada cara resulta ser cero (el número de cargas positivas coincide con el número de cargas negativas). Como los únicos vértices cuya carga no ha podido ser desplazada a una cara contigua son los vértices superior e inferior, resulta que la carga total del poliedro es +2.

La fórmula de Euler tiene muchas consecuencias. Una de ellas (realmente sorprendente) es que sólo existen cinco poliedros convexos regulares (es decir, sus caras son polígonos regulares y en cada vértice confluyen el mismo número de aristas). ¿Podrías decir cuáles son?