SUBSUELO ESTETICO FRACTAL por el Prof. Dr. D. Alberto Requena Rodríguez, académico de número

La Naturaleza está compuesta por elementos que son, en su mayoría, irregulares, imperfectos. Las formas geométricas no bastan para medir los objetos irregulares. Las formas euclídeas no se ajustan bien a los objetos que la realidad nos brinda. Los objetos que nos rodean, en su mayoría, no son polígonos o cuerpos perfectos. Mandelbrot se planteó esta cuestión. La línea de costa no requiere un patrón fijo para su medida. Las plantas presentan patrones de crecimiento que optimizan el contacto con el medio. Encontramos en ellos la denominada fractalidad.

Si queremos medir una costa, como se planteó Mandelbrot, la costa es irregular. Si empleamos una unidad de medida recta, a lo único que podemos aspirar es a efectuar una estimación. En la concepción clásica de la medida, la longitud estimada, “L”, será el resultado de multiplicar la unidad de medida “u” por el número de medidas “n” de esas unidades, “u”, precisas para cubrir el objeto. Si obtenemos una medida “L” con una unidad “u” y ahora tomamos una unidad distinta “u’ ” que sea la mitad de “u”, no necesariamente obtendremos el doble valor para la longitud, “L”, sino que puede ser mayor. Aquí identificamos que la medida clásica es insuficiente, cuando se trata de objetos irregulares. Cuanto menor sea la unidad de medida “u”, obtenemos una longitud, “L”, mayor. Aquí se evidencia que los objetos irregulares requieren otro procedimiento de medida. Y recordemos que irregulares son la mayoría de los objetos que nos rodean.

La geometría fractal es la rama de las Matemáticas que estudia estos objetos irregulares. Nació en 1967 de la mano de una idea que propuso Richardson unos años antes, cuando estudió la incidencia de la longitud de la frontera entre dos países entraran en guerra. Los datos que obtuvo para la longitud de las fronteras variaba en función de la fuente consultada, hasta en un 20%. Ya concluyó que dependía de la unidad empleada para efectuar la medida. Conforme disminuía la escala el resultado era mayor, con un límite teórico infinito. Este es el conocido como efecto Richardson. Se relaciona la medida de la longitud “L” con la unidad de medida “u” mediante una relación logarítmica de Mandelbrot,

log [L(u)] = (1 – d) log(u) + b

siendo b una constante de ajuste  y d la dimensión fractal, que viene a ser la cobertura del espacio, de forma que cuanto más supere a la unidad, menos próxima a la línea será el objeto que medimos. Los fractales se caracterizan por dos propiedades: la autosemejanza y la autoreferencia. La primera implica invarianza de escala, por la que la apariencia siempre es la misma, independientemente de la escala a la que la observemos. La última, la autoreferencia,  significa incumplir el aserto de la lógica que exige que lo definido no puede entrar en la definición. La autoreferencia implica que el objeto aparece en su definición. En términos de computación, es la recurrencia. Las formas geométricas no diferenciables son las que son objeto de estudio de la geometría fractal. La curva de Koch, por ejemplo. El conjunto de Cantor se obtiene tras una iteración infinita y de él emergen la alfombra Sierpinski (dimensión euclídea 2) y la esponja de Menger (en dimensión euclídea 3).

En la Naturaleza hay muchos objetos que satisfacen las condiciones de los fractales. Todos los procesos de ramificación, desde ruidos en señales eléctricas, hasta elementos del sistema económico, pasando por distribución de las galaxias, forman parte del elenco propio de la geometría fractal. Es raro el campo de estudio que no forma parte del escenario fractal. La Música no podía quedar al margen. Como si hubiera un sonido del caos. La Música Clásica se presta más que otras, por lo elaborado de las propuestas, permiten más fácilmente, un análisis de su componente fractal. Bach es el gran geómetra fractal de la Música Clásica. Sus fugas, en  gran medida son reflejo de la autosemejanza y recurrencia. El alcance de Bach, no sólo es el de su música interpretada, sino la referencia en la que se miran desde Shostakovich hasta Villalobos, improvisando sobre los fundamentos que establecen las estructuras de Bach.

Las invenciones y sinfonías de Bach son dos conjuntos integrados por quince composiciones, las denominadas invenciones, que son obras propuestas para dos voces y otras quince sinfonías propuestas para tres voces, con estructura contrapuntística. Al igual que Chopin, que propone los famosos Estudios, para que los aprendices no tengan que verse sometidos a la ardua tarea de someterse a la tortura de Hannon o Cerny, son auténticas obras de arte y asi se le reconoce cuando son objeto de repertorio de los mejores pianistas pero, en realidad, fueron concebidos para estudiar, para ejercitar determinados dedos de una o ambas manos, Bach concibe los estudios para ejercitación de los que se inician o se entrenan, en suma, para educación musical.

La pieza de Bach, BWV772 es un excelente ejemplo en el que efectuar el análisis fractal de una invención. En www.teoria.com,  Rodríguez Alvira, hace un detallado análisis del Inventio 1 de Bach, identificando los compases 3 a 6, 7 y 8, 9 a 12 y los finales, incluida la coda, En los compases 3 a 6, las inversiones que convierten los intervalos ascendentes en descendentes forman la voz superior, mientras que las cuatro notas del tema transformadas por aumentación, doblando el valor, constituyen el bajo de la marcha. Visualmente, en la partitura se evidencia como una imagen especular. Estas transformaciones son las que utiliza Bach para transitar mediante una modulación a sol mayor, la dominante de do mayor. En los compases 9 a 12 hay un tránsito al tono de re menor mediante inversiones.  Mientras que en los compases 3 y 4 se pasaba de do mayor a sol mayor (dominante), quinta ascendente, ahora pasamos de re menor a la menor, que también es una quinta ascendente. Siguen las marchas armónicas en los compases subsiguientes. En resumen, la pieza incluye: imitación, transformación por inversión, transformación por aumentación, contrapunto invertido a la octava y marchas armónicas. Todo ello arropado por la vestimenta de las fugas, comenzando y terminando en la misma tonalidad, la principal, a través de una modulación a la dominante, donde presenta el tema de nuevo y otras modulaciones a tonalidades más cercanas. Básicamente miles de notas integradas en una composición sinfónica que alberga sonidos estructurados.

Hsu y Hso estudian la pieza BWV772 evidenciando la  existencia de patrones fractales como autosemejanzas.  Lo hacen de forma parecida a la que se emplea cuando se analiza una línea de costa. Zhi-Yuan Sua y Tzuyin Wub en Multifractal analyses of music sequences, dejan probada la fractalidad. Y no son las únicas referencias de este tenor, por cuanto Y. Shi, Correlations of pitches in music, Fractals 4 (1996) 547–553) analiza la variación y autosemejanza en música country y para piano. Muchos otros autores lo confirman. La geometría fractal puede ser un lenguaje apropiado para expresar el misterioso atractivo de la música, con su estructura sonora íntima albergada en la integración de miles de notas que constituyen una composición musical. Hsu y Hso analizan las piezas de Bach desde el punto de vista de las frecuencias acústicas y la relación entre los intervalos de esas frecuencias.

Como sabemos, una octava implica una frecuencia duplicada, lo cual se consigue reduciendo a la mitad la longitud de una cuerda. Como una escala diatónica consta de 12 semitonos, la relación de las frecuencias sucesivas en esta escala será r. De esta forma:

Ni = N i-1 r
C(do)# = C(do) r
D(re) = C(do)# r = C(d) r2

C(do) = B (si) r = A# (la) r2 = A (la) r3 = G (sol)# r4 = G (sol) r5 = F(fa)# r6 =
F(fa) r7 = E r8 = D#(Re) r9 = D(Re) r10 = C(Do)# r11 =  C(do) r12

Concluimos en que para pasar de una octava a la siguiente y alcanzar el armónico de una nota, como Do, en el ejemplo, es preciso multiplicar por r12. Si la frecuencia del do original es f, la de la octava, será el doble, por tanto

2f = f r12

De donde obtenemos que r = 12√2 = 1.059463. Este sería el intervalo entre dos notas sucesivas.

Podemos concebir la música, como una sucesión ordenada de notas, que constituye la melodía, combinadas apropiadamente para que concuerden (armonía) y secuenciadas en una sucesión de duraciones temporales y espacios entre ellas (ritmo). La convención clásica supone que la combinación de estos componentes no es caótica, sino que todo requiere un orden. De ser fractal una composición, según Hsu y Hso  debiera cumplirse que

n = cte / (i d)

siendo n la frecuencia, i el intervalo y d  la dimensión fractal. Esta expresión resulta una buena descripción para varias obras de Bach y Mozart. Otros análisis pormenorizan la recursividad y no solo los intervalos en las notas y confirman la fractalidad.

Como vemos, hay estudios que confirman la fractalidad musical.  Música y Naturaleza tienen en común que la presencia de estas imágenes en acústica  y las formas de la Naturaleza, conllevan la consecución de imágenes complejas que integran muchos elementos, pero en los que subyace un patrón simple que se incorpora mediante recursividad. Al final, todo parece indicar que cuando en un objeto hay muchos elementos, cuantos más y mayor variedad de ellos hayan, estando organizados, más bellos y agradables nos parecerán, como apunta Eysenck, estudioso de la personalidad. Los fractales están presentes en el mundo, tanto en la Naturaleza como en la percepción estética y está integrado en ellos y en el subsuelo de las cosas hermosas y agradables, incluso es posible que en el escenario cognitivo.