La geometría global por el Prof. Dr. D. Pascual Lucas Saorín, académico de número

Columna de la Academia publicada en el Diario La Verdad el 27 de febrero de 2016

Las ideas más familiares sobre la geometría fueron inspiradas por la antigua visión de que el mundo es plano. Desde el paralelismo de dos rectas hasta el teorema de Pitágoras, estas “verdades” residen en un lugar imaginario, la geometría del plano. Una geometría que hunde sus raíces en las civilizaciones de India, China, Egipto y Babilonia, pero que fue codificada y refinada por Euclides y sus colegas griegos. Esta geometría plana es la geometría principal (y para muchos la única) que se aprende durante el periodo escolar.

 

Pero en la era de la globalización, de Google Earth y de los viajes transcontinentales, habría que realizar un esfuerzo por conocer otras geometrías, en particular la geometría esférica y su hermana mayor, la geometría diferencial. Esta geometría es reciente (bueno, en Matemáticas 200 años no es nada) y su origen puede asociarse con Gauss y Riemann. Es, además, la geometría que sirve de edificio o estructura para las modernas teorías físicas (en particular, para la teoría general de la relatividad del genial Einstein).

 

Por ejemplo, si nos preguntamos qué ciudad, Nueva York o Roma, está más al norte, la mayoría piensa, a bote pronto, que Nueva York. Sin embargo, ambas ciudades están aproximadamente en la misma latitud. Por tanto, es de suponer que los pilotos de las compañías aeronaúticas que vuelan entre ambas ciudades lo harán siguiendo el correspondiente paralelo. La realidad no es esa. Los pilotos realizan una trayectoria “curva” pasando por Canadá, el Atlántico norte, Irlanda y Francia. ¿Por qué? Pues porque es el camino más corto, la trayectoria geodésica en la geometría esférica. Nos puede parecer extraño, por lo acostumbrados que estamos a los mapas planos. Pero la proyección de Mercator, que es la que suele utilizarse para representar la Tierra en un plano, deforma ésta y las rectas del mapa no se corresponden con las “rectas” reales, es decir, con las trayectorias más cortas.

 

El plano y la esfera son superficies simples y sencillas, cuya geometría puede describirse de forma precisa y elegante. Por el contrario, las superficies arbitrarias (y sus generalizaciones, las variedades diferenciables) que se necesitan para explicar las modernas teorías físicas son algo más complicadas, y su manejo requiere de un adiestramiento previo en otras disciplinas matemáticas. Pero si se quieren entender y profundizar en los modelos físicos actuales no es posible prescindir de la geometría diferencial.