Feliz año 43×47 (Parte II) por el Prof. Dr. D. Antonio Córdoba Barba, académico de Honor

Conocer la distribución de los números primos en la sucesión de los enteros ha sido un objeto del deseo de los matemáticos a lo largo de los siglos. Un hito fue la demostración de Jacques Hadamard, a finales del XIX, de la conjetura formulada más de cincuenta años antes por el gran Gauss: el número de primos entre 1 y x está muy bien aproximado, cuando x es grande, por el cociente “x/ln(x)”, donde ln(x) designa al logaritmo neperiano de x, que, para entendernos, podemos estimar el orden de magnitud de su tamaño por el número de cifras de x. La demostración de este “teorema de los números primos” es una auténtica joya del pensamiento humano que no procede tratar ahora, pero sí podemos glosar algunas de sus consecuencias.

Supongamos que quisiéramos factorizar un casi-primo de doscientas cifras. Siguiendo a Eratóstenes tenemos que buscar un divisor primo menor que su raíz cuadrada, que es un número de unas 100 cifras. El teorema de los números primos nos dice que, aproximadamente, hay que buscar entre “10 elevado a 100” dividido por “100xln(10)”, y un cálculo elemental nos da un número de más de 97 cifras. Por tanto, si queremos acertar con una probabilidad superior a una billonésima, necesitaremos en promedio más de “10 elevado a 85” divisiones, por lo que si cada división le lleva a nuestro ordenador (y esto es un decir) más de una billonésima de segundo, necesitaríamos un total de “10 elevado a 73 segundos”, que es una inmensidad de billones de años. Se trata, no obstante, de un cálculo aproximado que no debemos tomar demasiado al pie de la letra, pero que nos da una buena estimación de la dificultad de llevar a cabo esa factorización, incluso con la ayuda de los más potentes computadores.

Ocurre que los modernos sistemas de cifrado en clave pública, usados cotidianamente en nuestro correo electrónico (dirección electrónica, contraseña), están basados en la obtención de conjuntos grandes de casi-primos de difícil factorización que ayudan a reforzar la seguridad. Porque dan lugar a sistemas eficientes de encriptación asociados al casi-primo con algoritmos relativamente sencillos. Pero quién desee romper el código y leer el mensaje, sin disponer de información privilegiada, debe hallar por su cuenta los factores del casi-primo y eso, hemos visto, que es muy improbable que logre hacerlo en un tiempo razonable.

No debe sorprendernos, sin embargo, que en la dirección opuesta (labor de “hackers y espías”) haya una actividad muy intensa que pretende encontrar algoritmos cada vez más eficientes para descomponer un número en factores primos, porque conocer esos factores implica encontrar fácilmente las contraseñas.  Se trata de un área de investigación matemática fascinante, que atañe a la seguridad mundial y se imbrica también con los proyectos de construcción de los mucho más potentes ordenadores cuánticos.