Feliz año 43×47 (Parte I) por el Prof. Dr. D. Antonio Córdoba Barba, académico de Honor

La llegada del nuevo año y el final del denostado 2020 han sido muy anormales. Lo que quizás haya pasado inadvertido para la mayoría es que 2021 tiene una interesante factorización en primos, que lo hace ser un número singular: el más difícil de factorizar entre todos sus predecesores, y habrá que esperar a 2279 para encontrar otro año con dificultad parecida. No es una mera observación pintoresca, producto de una mente aficionada a las elucubraciones aritméticas, sino que se trata de un fenómeno algo más profundo que está íntimamente conectado con la seguridad de nuestro correo electrónico.

La sucesión de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, …) ha fascinado a la humanidad desde hace muchos siglos. Los clásicos griegos ya supieron que hay infinitos de ellos (la sucesión nunca se acaba) y que todo número entero distinto del cero y de la unidad se descompone de manera única, salvo el orden de los factores, en un producto de tales primos. Posteriormente Eratóstenes, un sabio del período alejandrino, ideó un procedimiento eficiente para hallarlos. Se basa en el hecho de que todo número mayor que 1 ora es primo, ya es divisible por un primo menor que su raíz cuadrada. El método, llamado criba de Eratóstenes, es muy fácil de implementar: directamente a mano, si se trata de números no muy grandes como son los menores que 2021, o con ayuda de un sencillo programa de ordenador si, por ejemplo, quisiéramos una lista de los primos menores que un millón. De manera que si buscamos en Internet esas listas veremos que entre 1 y 2021 hay exactamente 306 primos. No obstante, siguiendo a Eratóstenes, para encontrar la factorización de 2021 basta con que nos centremos en los que son menores que la raíz cuadrada de 2021 que es 44.95…, un número muy próximo a 43 y 47 que son los dos factores primos que 2021 posee. Por cierto, Eratóstenes fue también el primero en realizar un cálculo muy válido del tamaño (radio) de una Tierra esférica.

Si en posesión de esa lista queremos factorizar un número, el aciago 2020 por ejemplo, enseguida vemos que es divisible por 2 y que el cociente 1010 lo es también por 2 y por 5, quedándonos 101 que ya es primo, y esto se hace en un periquete. Dado un entero, la estrategia más lógica sugiere empezar por 2, y luego ir siguiendo con los sucesivos 3, 5, …  hasta completar la factorización. Pero cada una de esos pasos conlleva un tiempo de ordenador y entonces queda claro que 2021 necesita más divisiones que cualquier otro número que le precede o que le sigue hasta llegar a 43×53= 2279 que es el primero con iguales exigencias. Los números que son producto de dos primos distintos reciben el nombre de casi-primos y, si sus dos factores son muy parecidos, como ocurre con los de 2021, tenemos un número que es de lo más difícil de factorizar entre los de tamaño comparable.