EL PROBLEMA INVERSO: APROXIMACIÓN PROBABILÍSTICA por el Prof. Dr. D. Alberto Requena Rodríguez, académico numerario

En Ciencia experimental, los fenómenos observados permiten formular hipótesis, que pueden dar lugar a teorías que soportan la construcción de modelos que permiten describir aquellos fenómenos. Lo relevante es la forma funcional con la que se describe el fenómeno, bien sea una ecuación o sistema de ecuaciones, bien sea digitalmente mediante tablas numéricas para interpolar o extrapolar resultados; al final se trata de una función que incluye parámetros cuyo valor concreta el proceso relevante del fenómeno observado. Cuando se dispone de una teoría para un fenómeno, podemos resolver los problemas directos, es decir, haciendo uso de los valores concretos de los parámetros, determinamos los valores que deben tener los datos que debemos o podemos medir, de forma que podamos compararlos con los obtenidos experimentalmente. Es la forma usual de trabajo. Por ejemplo, en un análisis químico, los datos observados permiten establecer curvas de calibrado cuyo uso posterior consiste en a partir del valor de una propiedad, deducimos el resultado a obtener para otra variable. Por ejemplo, medimos la absorción de un compuesto a una longitud de onda determinada. Si previamente establecimos la curva de calibrado, obteniendo a partir de disoluciones de concentración conocida la absorción correspondiente, estamos en condiciones de actuar obteniendo la lectura de la absorción y la curva de calibrado nos permitirá conocer la concentración.
El problema inverso consiste en determinar las propiedades del sistema a partir de los datos observados. Por tanto, se procede por la vía opuesta al camino usual de la Ciencia experimental. Un problema muy establecido es el problema de la batería, consistente en encontrar su forma conociendo el sonido que produce. Es decir, se tiene que determinar los coeficientes de una ecuación diferencial o en derivadas parciales, conociendo el espectro de valores propios. Pero el problema es el mismo que cuando se trata de un medio inaccesible a la observación directa y pretendemos determinar las propiedades de ese medio. La situación es corriente en geofísica interna, por ejemplo. Buen ejemplo de ello es la localización de la fuente de ondas sísmicas a partir del tiempo al que se registra la observación en diversas localizaciones. Si se supone que la velocidad de propagación es constante sobre la superficie, se trata de un problema de ajuste por mínimos cuadrados. Entonces, determinada la fuente, podemos calcular el tiempo que tardará la onda en llegar a un punto de la superficie. Si la Tierra fuera esférica, ese tiempo solamente depende de la distancia entre la fuente y la estación de observación. Pero la velocidad de propagación es mayor que si se propagara por la superficie. Surge otro problema inverso: cómo determinar la velocidad de la onda en función de la profundidad, suponiendo que solamente fuera función de ella. A partir de trabajos de Batermann en 1910 y de Gerver y Markushevitch en 1967, sabemos que la velocidad aumenta con la profundidad con discontinuidades a unos 35 kilómetros Las propiedades de un medio dependen de la posición y del tiempo. Se requiere información infinita. En la práctica se estudian problemas estáticos y se fragmenta el medio en secuencia discretas y finitas. Si se modela la Tierra como una densidad homogénea de volúmenes elementales, la atracción que ejerce sobre el exterior se deduce de la ley de Newton. Se van ajustando sucesivamente los parámetros hasta alcanzar acuerdo con los datos observados con una precisión instrumental. Este es el procedimiento denominado de aproximaciones sucesivas.

Las teorías se pueden formular cuando se trata de un problema lineal, es decir que los datos dependen linealmente de los parámetros. Los tres obstáculos a superar son: si existe solución, si es única y si es estable, ante pequeñas variaciones de los datos o de la teoría. En los problemas lineales cuando disminuyen los errores experimentales al incrementar la precisión de las medidas, disminuye la potencia de la resolución. Por el contrario, la búsqueda de una mejor localización de un parámetro, da lugar a un aumento de su error. Es como una forma del principio de incertidumbre.

En los problemas no lineales, para un modelo dado, se evalúa la diferencia entre los datos calculados y observados; usualmente se emplea el método de mínimos cuadrados para ello. La solución se asume que está en la dirección en la que la diferencia disminuye más, denominado método del gradiente. Con cierta frecuencia esto conduce a otros mínimos secundarios, en lugar de conducir al valor más bajo. Se emplean, en general dos métodos: a) linealización, según la cual, una vez encontrada una primera aproximación, se investiga en las proximidades de esa solución y b) el método de Montecarlo, por la que se explora en el dominio de los parámetros, resolviendo el problema directo. Se requiere que el costo de cálculo sea económico. Cuando el número de parámetros es elevado el coste también lo es.

Tarantola enfoca este problema proponiendo una aproximación probabilística basada en el teorema de Bayes. El problema directo y el inverso pierden especificidad y se pasa a examinar el estado del sistema. Toda la información previa de los parámetros del modelo estudiado se definen como una distribución de probabilidad en el espacio de modelos. Esta distribución se transforma en una información a posteriori incorporando la teoría física que liga a los parámetros con los datos observables, definidos por una distribución de probabilidad y con la información que suministran los datos observados. Esto permite efectuar una revisión del estado del sistema. Es una forma de hacer los resultados insensibles a la elección de la parametrización. Tarantola lo desarrolla en un excelente libro publicado en 2006, Elements of Physics, Quantities, Qualities and Intrinsic Theories. Una Brillante propuesta-