Ecuaciones en tiempos de pandemia (II) por el Prof. Dr. D. Antonio Córdoba Barba, académico de Honor

Kermack y McKendrick con sus ecuaciones de 1930 sentaron las bases del tratamiento moderno de las epidemias: existencia del umbral (inmunidad de rebaño); estructura en pico de la curva de infecciosos y sacar conclusiones útiles del número de ingresos hospitalarios. Pero hay que conocer unos parámetros cruciales a partir de los datos históricos de la enfermedad. De ahí el desconcierto que vivimos ante un nuevo virus sin estadísticas previas.

Daniel Bernoulli, un genio de la Ilustración al que debemos el Cálculo de Probabilidades, la solución de la ecuación de ondas y la conocida fórmula de Bernoulli, llamada también de los fontaneros (imprescindible en el diseño de las tuberías de un edificio alto), fue pionero en el estudio matemático de las epidemias.

Antes de que Jenner lograse la vacuna que erradicó la enfermedad, Bernoulli usó el Cálculo Diferencial para describir la evolución de una población afectada por la viruela, y decidir sobre la conveniencia de la “variolización”. Esa técnica, originaria de Asia, consistía en inocular pus obtenido de un individuo enfermo en otro sano, con la pretensión de producir una versión atenuada de la viruela que proporcionase inmunidad. Pero tenía sus riesgos, por cuanto un pequeño porcentaje de los inoculados desarrollaba plenamente la enfermedad.

Siguiendo a Bernoulli la población de edad “t” se divide entre S(t), número de susceptibles de contraer la enfermedad y R(t), cantidad de personas de esa cohorte que han sobrevivido a la viruela. La evolución está regida por las ecuaciones: dR/dt=q(1-p)S(t)-m(t)R(t); dS/dt=-(q+m(t))S(t). Donde “p” es la probabilidad de fallecer una persona infectada y “q” la probabilidad infectarse, mientras que “m(t)” es la probabilidad de morir por causas distintas a la viruela.

Los valores de “p”, ”q” y “m(t)” salen de los registros históricos. Bernoulli usó los datos precisos de la ciudad de Breslau, publicados un siglo antes por el astrónomo Halley (el del cometa), pluriempleado actuario de una compañía de seguros: las ecuaciones muestran con ellos que la inoculación preventiva aumenta unos años el promedio de vida. En el artículo publicado en la Academia de Ciencias de París Bernoulli aconsejaba, no obstante, llevar a cabo más estadísticas para estar totalmente seguros del beneficio.

El enciclopedista D´Alembert, quien ya había discutido con Bernoulli a propósito de la solución de la ecuación de ondas, también terció en este asunto. Según D´Alembert la propuesta de Bernoulli tenía el inconveniente de truncar algunas infancias a cambio del dudoso privilegio de prolongar la vida de una población en plena ¡decrepitud de los cuarenta!