Ecuaciones en tiempos de pandemia (I) por el Prof. Dr. D. Antonio Córdoba Barba, académico de Honor

Inmunidad de rebaño, pico de la curva de infectados, confinamiento y realización de pruebas (PCR) para detectar asintomáticos, términos que la Covid-19 ha popularizado y son analizados en las ecuaciones formuladas por Kermack y McKendrick sobre la evolución de las epidemias. En una población afectada por un virus hay, en cada tiempo t, tres clases de individuos: los infectados, I(t); los susceptibles de adquirir la enfermedad, S(t); y finalmente A(t), que cuantifica a los que están inmunizados, aislados o han fallecido y, por consiguiente, no pueden contagiar ya a nadie. Suponemos que durante el periodo de estudio la suma de esas cantidades se mantiene constante, aunque, si es preciso, se podría completar el modelo para tener en cuenta el turismo y la migración.

La velocidad de crecimiento I´(t) (o derivada temporal) de la población infectada aumentará con los contactos entre infectados y susceptibles, medidos por el producto  r I(t)S(t) donde “r” es un parámetro muy pequeño que hay que evaluar; pero disminuirá con la velocidad A´(t) del número de aislados, que será proporcional al número de infectados con una constante “a” también por estimar: A´(t)=aI(t). Bajo la hipótesis de que el período de incubación sea corto, las ecuaciones son las siguientes: I´(t) = rI(t)S(t) – aI(t);  S´(t) = -rI(t)S(t) ; A´(t) = aI(t), donde “r” y “a” dependen de las condiciones de la población (rural, urbana), de sus instalaciones higiénicas y de la calidad del sistema sanitario. Las autoridades deben tener estimaciones de esos parámetros a partir de los datos históricos de la enfermedad. La solución, que es muy sencilla (Matemáticas del siglo XVII), permite interpretar la información que llega de los hospitales y tomar decisiones. Pero sabiendo los valores de “r” y de “a”, que eran desconocidos para la Covid-19. Por eso sorprende tanto la cantidad de gente que aventuraba opiniones desde el mismo inicio de la pandemia.

Una cuestión fundamental es conocer si la infección aumentará o si el número de enfermos irá decreciendo. Se trata del signo de la derivada I´(t) que será positivo (I(t) crecerá) si S es mayor que a/r, pero será negativo (I(t) decrecerá) cuando S sea menor que a/r. Ese cociente es crucial para saber si habrá epidemia, y está detrás del concepto de inmunidad de rebaño. Por otro lado, el “pico”, máximo de infectados, se alcanza cuando I´(t) se anula, es decir, cuando S=a/r.

La población puede también estar estratificada en grupos de edad o de riesgo, y llama la atención que unas sencillas ecuaciones cuya solución ya conocían los matemáticos del XVII expliquen tanto. Seguramente habrá una mayoría de ciudadanos que desconozcan los rudimentos del Cálculo que involucran las soluciones, pero sería de desear que sí los dominen los numerosos opinantes de los medios de comunicación.