CRIPTOEQUILIBRIO: CRISTALES DE TIEMPO por el Prof. Dr. D. Alberto Requena Rodríguez, académico numerario

El tiempo es algo especial, algo aparte. La Relatividad lo sitúa en pie de igualdad con el espacio, en un todo unificado, pero en muchos contextos sigue exigiendo una consideración especial. Una manera de apreciar este estatus singular es comparar la simetría de traslación en el tiempo con otro tipo de simetrías. A simple vista, reparemos que mientras que en la simetría espacial translacional de átomos o en la simetría rotacional de los espines y en muchas otras, la simetría se puede romper espontáneamente. Cuando esto ocurre, el sistema es menos simétrico que en su descripción inicial. Un buen ejemplo que lo ilustra es el de un sólido cristalino. Fuera de él, las interacciones entre los átomos son las mismas en cualquier posición en el espacio. Ello supone que disfruta de una invariancia translacional. No se ve alterado su efecto, aunque cambiemos su posición en el espacio, Ahora bien, un cristal en el estado energético fundamental implica unos determinados puntos de la red cristalina, que pueden desplazarse y situarse en posiciones energéticamente equivalentes como consecuencia de la aplicación de una perturbación infinitesimal. Solo permanece invariante si los desplazamientos se producen dentro de estas posiciones específicas.

 

La ruptura de la simetría es un concepto universal en la Física moderna. De hecho, una descripción intuitiva del mecanismo de Higgs implica una ruptura espontánea de la simetría para otorgar la masa a las partículas. Podríamos pensar que, en el caso del tiempo, la simetría de translación en el tiempo, no debe afectar a las ecuaciones que gobiernan el sistema, que permanecen inalteradas tanto antes como después del instante considerado. La ecuación de Schrödinger prescribe que un sistema tanto en el estado fundamental, como en cualquier otro, se debe transformar si efectuamos una traslación en el tiempo, introduciendo como consecuencia solamente un factor de fase. Los sólidos cristalinos son obviamente periódicos en el espacio. Pero la periodicidad en el tiempo, parece ilusoria cuando tratamos de aplicar simetrías.  Tras la propuesta inicial de Wilczek en 2012, Watanabe y col. en 2015 propusieron que sistemas periódicos próximos a una descripción cuántica presentan una simetría de translación en el tiempo similar a los demás tipos de simetrías. Esto plantea un reto para interpretar el papel del tiempo que nos debe ayudar a comprenderlo mejor.

 

La teoría de Floquet es la que se emplea para estudiar las propiedades de sistemas de muchas partículas periódicos que presentan interacciones fuertes, como los cristales discretos en el tiempo. Es un estado de la materia imposible porque presenta una ruptura espontánea de la simetría de translación en el tiempo en sistemas en equilibrio. Pero queda abierta la opción de que se trate de sistemas con simetría de translación en el tiempo discretos en no equilibrio. Floquet estudió las ecuaciones diferenciales ordinarias  con una dependencia periódica con el tiempo. Si se emplea una base con una rotación dependiente del tiempo, realmente se convierten en un sistema equivalente en equilibrio. Es el denominado criptoequilibrio al albergar en su interior un equilibrio oculto. La ruptura de la translación en el tiempo discreta proporciona el sello experimental de un cristal de Floquet. Después de un periodo de transición inicial, el sistema exhibe oscilaciones con un periodo cada vez más largo. Estas oscilaciones en el tiempo no generan entropía y permanecen en fase en tiempos y distancias arbitrariamente grandes.

 

Cuando hablamos de estados de la materia nos referimos implícitamente al estado fundamental  como preferido por el sistema. En los cristales de tiempo discreto no es así. Estos sistemas no tienen un estado fundamental. Un cristal de tiempo discreto es un estado de la materia superposición de estados macroscópicos distintos, como si se tratase del gato de Schrödinger. Esta superposición son estados de Floquet. Hay hechos claves que distinguen los cristales de tiempo discretos de otros sistemas que pueden exhibir oscilaciones en periodos no establecidos.

 

Una analogía utilizando metano y grafito, empleada por Yao y Nayek, nos aclarará el alcance de estos conceptos. El grafito es una variedad alotrópica del carbono y la superficie es un cristal hexagonal. Vamos a hacer uso de ella para explorar tres conceptos base: 1) la ruptura de la simetría translacional discreta; 2) el orden espacial y temporal de largo alcance y 3) la importancia de interacciones de muchos cuerpos para establecer la simetría de la ruptura. La disposición de los átomos de carbono en el grafito supone una ruptura de la simetría translacional del espacio en una simetría translacional espacial discreta de una superficie hexagonal como un panel de miel que formarían los átomos de hidrógeno (hay que incrustar los átomos de carbono en esa superficie y ya no solo son hexágonos con átomos de hidrógeno, sino que hay que situar a los carbonos. Supongamos que adsorbemos moléculas de metano sobre esa superficie. A  temperaturas por encima de 60 K el metano es un líquido bidimensional sobre la superficie del grafito y cuando lo enfriamos se solidifica. El metano solidificado no puede encajar en la red de grafito subyacente. En función de su densidad puede cristalizar  en una subred superpuesta a la del grafito. Eso afecta a la simetría de la red del metano. De forma espontánea el metano adopta una disposición de más baja simetría que la red de panel de miel del grafito. Esto supone una ruptura de la ya existente simetría translacional espacial discreta. Esto sería una descripción de los efectos sobre la simetría translacional espacial. Veamos como establecemos la análoga con el tiempo. Al igual que el patrón repetitivo de los átomos de carbono del grafito en el espacio, ahora el patrón repetitivo será en el tiempo. Esto implica, en términos cuánticos, que el Hamiltoniano vuelve a ser el mismo cada vez que se cumple un periodo. La ruptura  de esta simetría de translación en el tiempo discreta, se manifestará como si cristalizase en una subred en el tiempo, con lo que el observable será una respuesta que tiene un periodo doble que el global subyacente.

 

Respecto a la ordenación de largo alcance tomemos una instantánea de una porción de la superficie del grafito, el estado liquido o cristalino de las moléculas de metano, no es tan obvio. Por un lado puede ocurrir que las fluctuaciones del estado cristalino puedan llevar las moléculas de metano de la subred en la que están a otra y esto hará aparecer un estado líquido. Por otro lado una pequeña región del estado líquido puede, observada momentáneamente, parecer cristal, como ocurre con el agua de una piscina para cualquier que se dé un “panzazo”, que percibe que el agua a distancia corta parece sólida. Pero si contemplamos una zona grande o lo que es equivalente, durante un tiempo grande, esa cristalinidad momentánea del líquido desaparece. Grandes zonas separadas suficientemente implicarán diferentes subredes y para tiempos amplios el cluster cristalino sobre la subred, es igualmente probable que sea una subred diferente y correspondiente a un instante posterior. La esencia del largo alcance es que hay que distinguir la ruptura de simetría (cristalina) de los estados sin ruptura (líquido). Diagnosticar un estado cristalino de las moléculas de metano adsorbidas es crucial para estar seguro de que las moléculas prefieren la misma subred en regiones distantes a diferentes tiempos, es decir que tienen orden espacial y temporal de largo alcance. Lo mismo es aplicable para el cristal del tiempo.

 

Las interacciones juegan un papel decisivo. El orden de largo alcance y las características de los estados cristalinos con ruptura de simetría de las moléculas de metano adsorbidas, requieren la existencia de interacciones. Solamente como consecuencia de la repulsión entre una molécula de metano con sus vecinas y entre éstas y las siguientes el sistema completo puede garantizar que todas las moléculas prefieren la misma subred. Si una fluctuación sitúa las moléculas en alguna región de una subred equivocada, la subred resultante  crea erróneamente un dominio que supone un coste de energía. Si el sistema está suficientemente frío, esa energía provocará fluctuaciones para situar la región equivocada en la subred que debiera estar. Este realineamiento requiere la existencia de interacciones. Es de esperar que el orden cristalino en el tiempo no trivial no procederá de la dinámica de partículas individuales, sino más bien de la sincronización colectiva de muchas interacciones de muchos grados de libertad.

 

Es un área de investigación recientemente inaugurada, con fuertes implicaciones cuánticas y que promete un campo de fases de la materia en no equilibrio, ya evidenciados experimentalmente, en el que los tiempos de coherencia se requiere que sean extensos para poder evidenciar el orden temporal de largo alcance y que pueda ser observado. Los sistemas que no están en equilibrio pueden contener muchos estados que no pueden existir si los sistemas estuvieran en equilibrio. Los iones atrapados, átomos atrapados para sustentar los qubits, pueden ser el soporte para fabricar cristales de tiempo y medir la evolución del sistema. El movimiento previsto es oscilatorio, periódico, característico de los cristales de tiempo e indicador de la ruptura de la simetría temporal.