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Modelo 4

Demanda: d(t), $t \in [0,T]$ .
Escasez no permitida.
Coste de mantenimiento: h.
Coste de pedido: k.
Horizonte de planificación: [0,T].
Número de pedidos: n.
Política: determinar los instantes $t_0, \, t_1, \dots, \, ,t_{n-1}$ en que se deben realizar los pedidos.

Sea $D(t)=\int_0^t{d(u)}du$ la demanda acumulada hasta el instante t. Como el número de pedidos es fijo, el único coste será el de inventario. Como h es constante, basta minimizar el nivel de inventario acumulado.

El nivel de inventario en el instante t es

y(t) = D(t_k+1)- D(t)

si $t\in [y_k,t_{k+1}]$ . Veamos un modo de aproximar la solución.

Sean $t_{k-1}, \, t_{k+1}$ fijos. Si $t \in [t_{k-1},t_{k+1}]$ , entonces

$\begin{displaymath}y(t) = \int_{t_{k-1}}^{t_k} {(D(t_k)-D(t))} dt + \int_{t_k}^{t_{k+1}} {(D(t_{k+1}) - D(t))} dt =\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}-\int_{t_{k-1}}^{t_{k+1}} {D(t)}dt + \int_{t_{k-1}}^{t_k} {D(t_k)} dt + \int_{t_k}^{t_{k+1}} {D(t_{k+1})} dt =\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= - \int_{t_{k-1}}^{t_{k+1}} {D(t)} dt + D(t_k)(t_k-t_{k-1}) + D(t_{k+1})(t_{k+1}-t_k).\end{displaymath}$

Derivando respecto de t_k:

$\begin{displaymath}0 = \frac {dy}{dt_k} = d(t_k) (t_k - t_{k-1}) + D(t_k) - D(t_{k-1})\Rightarrow \end{displaymath}$

D(t_k+1) = D(t_k) + d(t_k)(t_k - t_k-1).

Luego fijando t₁, se obtienen todos los demás puntos. Ahora bien, no necesariamente se tiene T=t_n.