Modelo 1

• Demanda uniforme, con tasa de demanda d u.p./u.t. (unidades de producto por unidad de tiempo).
• Escasez permitida, con coste de escasez p u.m./u.t. (unidades monetarias por unidad de tiempo).
• Coste por inventario positivo: h u.m./u.t.
• Coste por efectuar un pedido: k u.m./pedido.
• Coste de material constante: c u.m./u.p.
• Política (s,Q): cuando el nivel de inventario desciende hasta s se hace un pedido que aumenta el nivel de inventario en Q unidades.

La longitud de un período será Q/d, pues como el nivel de inventario en el instante t es y(t)=S-dt y asumimos que al inicio de cada ciclo el nivel de inventario es S, entonces se tendrá

$$S-dt=s \quad \Rightarrow \quad t = \frac {S-s} {d} = \frac {Q}{d}.$$

Además, se pasa de inventario positivo a inventario negativo en el instante $t=\frac{S}{d}$, pues

$$y(t)=0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac {S}{d}.$$

En consecuencia, el coste total por unidad de tiempo será

TC = (coste de almacenamiento + coste de escasez + coste de pedido + coste de material) / u.t.

$$TC = \left( \frac{1}{2} \frac{S}{d} S h + \frac{1}{2} \frac ... ...k + c Q \right) \cdot \frac {1} {\frac {Q}{d}} =$$

$$\frac{h S^2 + p(Q-S)^2 + 2kd} {2Q} + cd$$

El hessiano de esta función es

$$\left( \begin{array}{cc} \frac {h+p}{Q} & - \frac {S}{Q^2} (... ...{Q^2}(h+p) & \frac{(p+h)S^2 + 2kd} {Q^3} \end{array} \right) .$$

El determinante de esta matriz es $\frac {2kd (h+p)} {Q^4} > 0$, por lo que la función es convexa. En consecuencia, todo mínimo local será global. Se obtiene:

$$S^* = \sqrt {\frac{2kd}{h}} \sqrt {\frac{p}{p+h}},$$

$$Q^* = \sqrt {\frac {2kd}{h}} \sqrt {\frac{p+h}{p}},$$

$$s^* = S^* - Q^* = - \sqrt {\frac{2kd}{h}} \sqrt {\frac {h^2} {p(p+h)}}.$$

La longitud del período es

$$T^* = \sqrt{\frac {2k} {dh}} \sqrt {\frac{p+h}{p}}.$$