Generación de variables multivariantes

• Si las componentes son independientes, se generan por separado.
• Si X es discreta, se trabaja como si fuese una variable unidimensional.

Sea X continua con densidad $f(x_1,\dots,x_n)$. Siempre se puede usar aceptación y rechazo, composición, etc., pues son métodos generales. También se puede considerar la descomposición de f como producto de densidades condicionadas e ir generando progresivamente valores asociados a estas nuevas variables unidimensionales.

$$f(x_1,\dots,x_n)= f(x_1) \cdot f(x_2\vert x_1) \cdot f(x_3\vert x_1,x_2) \cdot \dots \cdot f(x_n\vert x_1,\dots,x_{n-1}).$$

Se genera

$$\begin{array}{ccc} x_1^* & \equiv & f(x_1) \\ x_2^* & \equiv & f(x_2\vert x_1^*) \\ & \vdots & \end{array}$$

Ejemplo:

$$f(x_1,x_2)=6x_1, \quad x_1+x_2 \leq 1, \, x_1, \, x_2 \geq0.$$

Si comenzamos condicionando por x₁:

$$f(x_1) = \int_0^{1-x_1} {6x_1} dx_2 = 6x_1(1-x_1),\ 0 \leq x_1 \leq 1.$$

$$f(x_2\vert x_1) = \frac {6x_1} {6x_1(1-x_1)} = \frac{1}{x_1},\ 0 \leq x_2 \leq 1-x_1.$$

$$F(x_1) = \int_0^{x_1} {6t(1-t)} dt = 3x_1^2 - 2x_1^3 = u_1.$$

No podemos despejar x₁. Sin embargo, si empezamos condicionando por la otra variable:

$$f(x_2) = \int_0^{1-x_2} {6x_1} dx_1 = 3(1-x_2)^2,\ 0<x_2<1.$$

$$F(x_2) = \int_0^{x_2} {3(1-t)^2} dt = \left[ -(1-t)^3 \right]_0^{x_2} = 1-(1-x_2)^3=u_2\Rightarrow$$

$$x_2 = 1- \sqrt[3]{1-u_2}.$$

$$f(x_1\vert x_2) = \frac {6x_1} {3(1-x_2)^2},\ 0\leq x_1 \leq 1.$$

$$F(x_1\vert x_2) = \int_0^{x_1} {\frac{2t}{(1-x_2)^2}} dt = \frac {x_1^2} {(1-x_2)^2} = u_1\Rightarrow$$

$$x_1 = (1-x_2) \sqrt{u_1}.$$

Cada par (x₁,x₂) se obtiene como

$$(x_1,x_2) = \left( \sqrt[3]{1-u_2} \sqrt{u_1}, 1-\sqrt[3]{1-u... ...{D}} \left( \sqrt[3]{u_2} \sqrt{u_1}, 1-\sqrt[3]{u_2} \right).$$

La última igualdad se debe a que si U es U(0,1), entonces 1-U también sigue una distribución U(0,1).

Distribución normal multivariante

Para simular una variable $N_k(\mu,\Sigma)$ basta considerar las dos siguientes observaciones:

• Si se quiere simular una variable N_k(0,I_k), basta simular k valores N(0,1) (por la independencia de las componentes).
• Si $Z \equiv N_k(0,I_k), \, C \in \textit{M}_k, \, v\in \mathbb{R} ^k$, entonces $CZ+v \equiv N_k(v,CC^t)$.

En consecuencia, tomando $v=\mu$ y C tal que $CC^t=\Sigma$, se obtiene un método para simular una variable normal multivariante cualquiera. En particular, la matriz C se puede tomar triangular inferior, en cuyo caso

$$C_{ij} = \frac {\sigma_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} c_{ik}c_{jk}} ... ..._j^2 - \sum_{k=1}^{j-1} c_{jk}^2}}, \, 1 \leq k \leq i \leq k.$$