Los pitagóricos y
los números irracionales
Fracciones
 Teorema.- El número  es irracional. Demostración.-

 Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema para llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.

Supongamos entonces que  no es un número irracional, es decir que es racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar más), de modo que:

 con p y q números enteros y entonces:
y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda:
y por lo tanto  es un número par, lo cual implica que también lo es, pues el cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es par.

Por tanto, al ser  un número par es múltiplo de 2, es decir será del tipo  , con m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad anterior y operamos:

con lo que  es par y  también, es decir  con n un número entero, luego la fracción irreducible inicial queda:
y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio. Concluimos que  no puede ser una fracción, no puede ser racional.

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