Los pitagóricos y los números irracionales

Los pitagóricos y
los números irracionales

La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números irracionales, es decir, números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...-3,-2,-1.0,1,2,3,...) ni racionales (fracciones de números enteros).

Ellos los llamaron números inconmensurables.

Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el problema siguiente:

Si se traza un cuadrado cuyo lado mida la unidad, es decir 1, y se intenta calcular lo que mide la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que miden 1.

Si ahora aplicamos el Teorema de Pitágoras tenemos que se verifica el siguiente desarrollo despejando d en la relación pitagórica.

Y el número es irracional ("infinitas cifras decimales no periódicas"), tal y como vamos a probar más adelante.

Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina que preconizaba la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias, pero uno de ellos lo reveló traicionando a la secta por lo que fue ejecutado.

Euclides (300 a.C.) recoge en su obra Los Elementos una referencia a los números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus discípulos:

Teorema.- El número es irracional. Demostración.-

Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema para llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.

Supongamos entonces que no es un número irracional, es decir que es racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar más), de modo que:

con p y q números enteros y entonces:

y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda:

y por lo tanto

es un número par, lo cual implica que

también lo es, pues el cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es par.

Por tanto, al ser un número par es múltiplo de 2, es decir será del tipo , con m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad anterior y operamos:

con lo que

es par y

también, es decir

con n un número entero, luego la fracción irreducible inicial queda:

y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio. Concluimos que

no puede ser una fracción, no puede ser racional.

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