Cien años después del programa positivista de Hilbert tuvo lugar otro intento de codificar el conocimiento, pero esta vez fue nefasto gracias a la aparentemente simple reflexión de otro alemán, Kurt Gödel, que se interesó en la lógica. Su timidez y reticencia a grandes pronunciamientos, al contrario que Hilbert, redujeron la explosividad de sus teoremas de incompletitud, aunque iluminó a la comunidad matemática. Un sistema consistente en Matemáticas, como la familiar aritmética y sus operaciones (suma, resta, etc.) no puede ser ni completo ni consistente. La consistencia se refiere a las características de las reglas de un sistema que no producirán enunciados contradictorios, como por ejemplo que dos cosas sean y no sean iguales. Pese a que pueda parecer que esto es muy simple, es diabólicamente difícil asegurar que unas pocas sentencias, aparentemente simples, en cualquiera de las miles de formas posibles en que pueden ser usadas, no generen nunca una conclusión ilógica. Introduciendo conceptos, aparentemente razonables, como “cero” o “infinito” en la aritmética simple, por ejemplo, se pueden generar incompatibilidades extrañas o antinomias, como las denominan los matemáticos. El reto era demostrar que para un sistema particular de axiomas raíz, las reglas básicas fundamentales, nunca derivarán incompatibilidades. Lo que Gödel demostró, usando una extraña y nueva correspondencia entre matemática y lógica, de su invención, fue que si un sistema era consistente, nunca podría demostrar que es completo con las reglas de ese sistema. Esto significa  que algo que se demostrara cierto usando el sistema no podría ser probado, de hecho,  que lo era. Ya que las pruebas (demostraciones) son el fundamento de las matemáticas, resulta curioso que enunciados obviamente ciertos no se puedan demostrar.

El quid de la cuestión se puede apreciar considerando alguna de las paradojas que atormentaran su cerebro de forma poco placentera.  La más famosa de las paradojas es la de los cretenses, conocida también como la paradoja del embuste. Los enunciados son de la forma “los cretenses reclaman que todos los cretenses son mentirosos” ¿que cres tú? Otra versión dice “toma una carta blanca y escribe en una de las caras “el enunciado de la otra cara de esta carta es verdadero” y en la otra cara, “el enunciado de la otra cara es falso”. Para Gödel, estos juegos mentales fueron la base de la nueva forma de lógica que usaba para demostrar que en muchos casos no podemos decir nosotros mismos la verdad.

Claramente, podría pensarse que este fue el final del programa mesiánico que pretendía establecer la primacía de las matemáticas y del pensamiento lógico. Pero no fue así, ni mucho menos. Lo asombroso del caso son las oportunidades de investigación filosófica y técnica que supuso. Ideas, previamente no consideradas, sobre recursividad, paradojas, algoritmos e incluso conciencia deben su fundamento a las ideas de incompletitud de Gödel. Lo que, a primera vista parece como negativo, como la incompletitud eterna, resulta ser un ejercicio de imaginación fructífero.  Paradójicamente, buena parte de la ciencia de la computación, un área en la que se podría pensar que es muy dependiente de enunciados empíricos de lógica impecable, no podría haber progresado sin las ideas seminales de Gödel. Es más, la incosgnoscibilidad y la incompletitud son de las mejores cosas que le pueden ocurrir a la Ciencia.

Algunas cosas nunca pueden ser conocidas y esto no es cuestionable. No podemos conocer el valor exacto de pi, por ejemplo. Ciertamente esto tiene poco efecto práctico, incluso en Geometría. Los primeros pitagóricos se vieron sorprendidos cuando no pudieron soslayar la raíz de dos, que no podía ser representada precisamente sobre la recta numérica, que dejaba de ser discreta y pasaba a considerar distancias suaves. Es muy perturbador si el valor de la hipotenusa del triangulo rectángulo más simple, de lados unidad, no tenga sitio en la recta numérica de menos a más infinito. Hay una prueba más de esta aparente paradoja, consistente en la historia, aparentemente apócrifa de Hipassus, un pitagórico que mostró su demostración de esta extrañeza y fue declarado herético y ahogado por sus compañeros pitagóricos. Esto fue  consecuencia desagradable de obtener la respuesta correcta. ¡Las Matemáticas eran más duras en aquellos tiempos!. Poco después los matemáticos desarrollaron más trabajos al respecto, proponiendo los números irracionales, no porque fueran no razonables, sino porque no se pueden expresar como una fracción, como relación entre dos números. Los números irracionales, junto con los racionales constituyen la recta de los números reales. Ahora podemos trabajar con ellos más o menos que con los racionales. Mucha gente no ha reparado en ello, porque no ha tenido que preocuparse lo más mínimo, y posiblemente nunca lo hagan.